Teorema de Bayes ou a probabilidade das causas

O teorema de Bayes é um dos pilares do cálculo de probabilidade . É uma teoria apresentada por Thomas Bayes (1702-1761) no século XVIII. Mas qual é o propósito da pesquisa deste famoso cientista? A probabilidade expressa num processo aleatório a razão entre o número de casos favoráveis ​​e o número de casos possíveis.

Muitas teorias de probabilidade foram desenvolvidas para governar nossa existência hoje. Quando vamos ao médico, ele prescreve o medicamento que tem maior probabilidade de ser útil no nosso caso, tal como os anunciantes dedicam as suas campanhas às pessoas com maior probabilidade de adquirir o produto que pretendem promover ou aos turistas e viajantes que escolhem o percurso onde é provável que haja menos fila.

A lei da probabilidade total está entre as mais famosas, portanto antes de falar sobre a Teorema de Bayes teremos que dedicar algumas linhas para explicar o primeiro. Para tentar entender, basta dar um exemplo .

Qual é a probabilidade (P) de que uma pessoa escolhida aleatoriamente da população trabalhadora deste país seja desempregado ?

De acordo com a teoria da probabilidade, os dados seriam expressos da seguinte forma:

• A probabilidade de a pessoa ser mulher: P (M)
• A probabilidade de a pessoa ser do sexo masculino: P (H)

Sabendo que 39% da população é composta por mulheres deduzimos que: P(M) = 039.

Fica portanto claro que: P(H) = 1 – 039 = 061. O problema colocado no início também nos dá as probabilidades condicionais:

• Probabilidade de uma pessoa estar desempregada sabendo que é mulher -> P (P | M) = 022
• Probabilidade de uma pessoa estar desempregada sabendo que é homem – P (P | H) = 014

Usando o lei da probabilidade total teremos:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

O . Observamos que o resultado está a meio caminho entre as duas probabilidades condicionais (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Vamos descobrir o teorema de Bayes

Agora suponhamos que um adulto seja escolhido aleatoriamente para preencher um formulário e seja observado que não tem emprego. Neste caso e tendo em conta o exemplo anterior, qual a probabilidade desta pessoa escolhida aleatoriamente ser uma mulher -P(M|P)-?

Para resolver este problema aplicaremos o teorema de Bayes que é usado para calcular a probabilidade de um evento tendo informações antecipadas sobre ele . Podemos calcular as probabilidades de um evento A sabendo que ele satisfaz certas características (B).

Neste caso estamos falando da probabilidade de a pessoa escolhida aleatoriamente para preencher um formulário ser uma mulher. Mas isso

A fórmula do teorema de Bayes

Como qualquer outro teorema, precisamos de uma fórmula.

Parece complicado mas tudo tem explicação. Vamos pensar por partes. O que cada letra significa?

B é o eventosobre os quais temos informações preliminares.
• L a letra A (n) refere-se aos diferentes eventos condicionados.
• Na parte do numerador temos o probabilidade condicional . Isto se refere à probabilidade de que algo (um evento A) ocorra sabendo que outro evento (B) também ocorrerá. É definido como P (A | B) e é expresso como: A probabilidade de A dado B .
• No denominador temos o equivalente a P(B) e segue a mesma explicação do ponto anterior.

Um exemplo

Voltando ao exemplo anterior suponhamos que um adulto seja escolhido aleatoriamente para preencher um questionário e se observe que ele está desempregado . Quais são as chances dessa pessoa escolhida ser mulher?

Sabemos que 39% da população activa é composta por mulheres enquanto o resto é homens . Sabemos também que a percentagem de mulheres desempregadas é de 22% e a de homens é de 14%.

Finalmente sabemos também que a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso estar desempregada é 017. Se aplicarmos a fórmula do teorema de Bayes o resultado que obteremos é que existe uma probabilidade de 05 de que uma pessoa escolhida ao acaso entre os desempregados

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

O teorema de Bayes deriva da conjunção dos teoremas da probabilidade composta e absoluta que explicamos no início. Sua principal característica é funcionar em todas as interpretações de probabilidade.

Uma vez que pode ser usado para calcular a probabilidade de uma causa que desencadeou o evento sua importância reside na forma como afetou historicamente o estudo das estatísticas . Hoje, de fato, são conhecidas duas escolas principais (uma freqüentista e outra bayesiana) que se contrastam a partir da interpretação dada a esta teoria.

Encerramos com uma curiosidade: você sabia que o spam eletrônico (o de Internet anúncios por e-mail) funciona graças ao teorema de Bayes?